Wiskunde

In de wiskunde bestaan er verschillende onderwerpen die je kan bestuderen. Ik ben vooral geïnteresseerd in differentiaal- en integraalrekening (ook wel calculus of analyse genoemd) en meetkunde. De reden is vrij eenvoudig: deze onderdelen van de wiskunde laten mij toe om een groot deel van de natuurkunde (fysica) te begrijpen. In het hoofdmenu kan je terugvinden wat er in de natuurkunde mij vooral boeit. Ik zal in onderstaande tekst dan ook grof geschetst de materie uitleggen die ik voor de natuurkunde nodig heb.

Van verzamelingen naar Banach-algebra's

Verzamelingen

Bertrand Russell, Foto Wikipdia.be

We vertrekken van het begrip verzameling. Dit is het meest elementaire concept. Je kan een verzameling van om het even wat hebben. Verzamelingen kunnen eindig en zelfs oneindig zijn. Maar is er dan echt geen enkele beperking? Toch wel! De paradox van Bertrand Russell gaat over de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, met de vraag of deze verzameling zichzelf nu wel of niet bevat. Als je dit logisch gaat analyseren kom je uit op een paradox.

Abelse groepen

Niels Henrik Abel, Foto Wikipedia.be

De volgende stap is om aan een verzameling G een bewerking * toe te voegen zodat die verzameling een Abelse groep vormt. Dit houdt volgende voorwaarden voor (G,*) in: inwendigheid, associativiteit, neutraal element, invers element en commutativiteit.

Vectorruimten

Vectorruimte, Foto Wikipedia.be

Een vectorruimte V over een lichaam K is een verzameling van elementen aangeduid als vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling (+)  en een scalaire vermenigvuldiging (.) Deze bewerkingen moeten voldoen aan een aantal voorwaarden, onder meer dat V een Abelse groep is. 

Een lichaam K  met twee bewerkingen (+ en *) voldoet aan volgende voorwaarden:

  • (K, +) is een Abelse groep.
  • (K\{0}, *) is een Abelse groep.
  • De bewerking * distributief is ten opzichte van de bewerking +.

Het lichaam K zal in de praktijk dikwijls de reële of de complexe getallen zijn.

Hilbertruimten

David Hilbert, Foto Wikipedia.be

Een volgende stap vooruit is de definitie van een pre-Hilbertruimte H. Dit is een vectorruimte voorzien van een inwendig product dat aan volgende voorwaarden voldoet: het is positief definiet, hermitisch symmetrisch en sesquilineair. Als de pre-Hilbertruimte volledig is (elke Cauchy-rij is convergent) wordt deze een Hilbertruimte genoemd.

Het is deze theorie rond Hilbertruimten die bijdraagt aan de studie van de kwantummechanica.

Banachruimten

Stefaan Banach, Foto Wikipedia.be

Een Banachruimte is een vectorruimte die genormeerd én volledig is. In tegenstelling tot een Hilbertruimte hoeft de norm in een Banachruimte niet afgeleid te zijn uit een inwendig product.

Een Banach-algebra is een structuur die bestaat uit een Banachruimte B en een bewerking * die van de onderliggende vectorruimte een associatieve algebra met eenheidselement maakt en die op de volgende wijze compatibel is met de norm:

{\displaystyle \forall x,y\in B:\|x*y\|\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|}.

De verschillende soorten meetkunde

Er bestaan verschillende soorten meetkunden. Een volledig overzicht hiervan zou ons te ver leiden en daarom beperk ik mij tot diegene die mij het meest interesseren.

Euclidische Meetkunde

Foto Wikipedia.nl

De Euclidische meetkunde heeft zijn naam te danken aan de beroemde Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië. Zijn meesterwerk, de Elementen, behoort tot één van de meest invloedrijke boeken uit de geschiedenis. Euclides vertrekt vanuit een verzameling van intuïtief aansprekende axioma's en gebruikt die vervolgens om andere proposities, lemma's en stellingen te bewijzen. Belangrijke begrippen in deze meetkunde zijn onder andere het punt, de rechte, het lijnstuk, de cirkel met haar straal en haar middelpunt, de rechte hoek en congruentie. Maar het allerbelangrijkste zijn de postulaten en dan vooral het parallellenpostulaat. Dit bijzondere postulaat kan op verschillende manieren geformuleerd worden maar het meest gangbare is dat door een punt dat niet op een rechte ligt, kan er één en slechts één rechte getrokken worden die de andere rechte niet snijdt. Doorheen de geschiedenis zijn er heel wat pogingen geweest om dit postulaat te bewijzen maar helaas kan dat niet. Men heeft na verloop van tijd ingezien dat er twee soorten meetkunden bestaan: deze die dit postulaat aanvaardt (de Euclidsiche meetkunde) en deze die dit postulaat niet aanvaardt (de Niet-Euclidische meetkunde).

Niet-Euclidische Meetkunde

Er bestaan twee grote onderverdelingen in de Niet-Euclidische meetkunde:

Carl Friedrich Gauss 1840 by Jensen.jpg

Carl Friedrich Gauss, Foto Wikipedia.org

De Hyperbolische meetkunde: door een punt dat niet op een rechte ligt, kunnen er oneindig veel rechten getrokken worden die de andere rechte niet snijden.

De hyperbolische meetkunde is rond 1830 ontdekt. Grondleggers van de hyperbolische meetkunde waren Janos Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856).

Afbeeldingsresultaat voor riemann

Bernhard Riemann, Foto Wikipedia.org

De Elliptische meetkunde: door een punt dat niet op een rechte ligt, kan er geen enkele rechte getrokken worden die de andere rechte niet snijdt.
 

De elliptische meetkunde is in 1854 door Bernhard Riemann ingevoerd.

Differentiaalmeetkunde

Hyperbolische paraboloïde, Foto Wikipedia.be

De Differentiaalmeetkunde onderzoekt gekromde ruimten. Dit kunnen krommen zijn (in het vlak of de ruimte) of gekromde oppervlakken (in de ruimte). Het mooie aan deze tak van de wiskunde is dat zij meetkunde en differentiaal- en integraalrekening met elkaar in contact brengen. Een van de grote stellingen in de differentiaalmeetkunde is het Theorema Egregium van Gauss.

De Differentiaalmeetkunde is de wiskunde die nodig is om de Algemene Relativiteit van Einstein te begrijpen.